Programme de mathématiques en prépa BCPST : tout savoir

L’enseignement de mathématiques en prépa BCPST est, avec les SVT et la physique-chimie, un des trois enseignements fondamentaux de la filière.

Étant une des épreuves aux plus forts coefficients pour les concours Bio ou ENV, il s’agit d’un des cours qui nécessitera l’investissement le plus important en début d’année afin de se hisser au niveau requis en prépa.

Sommaire :

1. Un programme dense et varié pour une épreuve de poids aux concours
2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils et communiquer avec des mathématiciens
3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication
4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques en terminale à dominante scientifique
5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique

1. Un programme dense et varié pour une épreuve de poids aux concours

Les mathématiques font l’objet du même nombre d’heures de cours en première année (8h) et en deuxième année (7h) que les sciences de la vie et de la Terre. Il faut aussi ajouter les devoirs sur table et les colles (entraînement aux examens oraux).

Le programme est assez dense mais il aborde plus la matière sous ses aspects opératoires, puisqu’une place importante est faite aux applications. L’objectif est de savoir utiliser les outils mathématiques, pas de devenir mathématicien.

C’est tout de même un enseignement fondamental pour lequel les coefficients des épreuves écrites au concours Bio sont les mêmes que pour la Bio et la physique-chimie, soit plus d’un quart du total, et près de 20% pour les concours ENV.

Cette matière est une de celles qui requiert un investissement immédiat afin de solidifier ses acquis et ses bases pour ensuite maîtriser progressivement l’ensemble du programme nécessaire à la réussite aux différentes épreuves de concours.

La parfaite compréhension des notions de cours allié à la pratique de nombreux exercices et l’étude approfondie des annales permettent d’acquérir les réflexes et les savoirs nécessaires pour se présenter aux épreuves dans les meilleures conditions possibles.

2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils et communiquer avec des mathématiciens

Les mathématiques sont nécessaires à l’exercice des futurs métiers exercés par les aspirants ingénieurs en agro, en géoscience, ou véto.

L’objectif de la formation est double :

• approfondir la culture scientifique générale des étudiants en les exerçant à la pratique du raisonnement mathématique pour acquérir une rigueur de raisonnement, un esprit critique, le contrôle et l’analyse des hypothèses, le sens de l’observation et de la déduction ;
• fournir des représentations et un langage utiles à d’autres disciplines (physique, chimie, biologie, informatique).

L’objectif est de former des personnes capables d’utiliser les outils mathématiques nécessaires à l’accomplissement de leurs études ainsi que de savoir communiquer avec des mathématiciens dans le cadre de leur futur métier.

L’enseignement est dispensé lors de cours et de TD. Les TD se prêteront à l’expérimentation numérique à la pratique des algorithmes soit avec la calculatrice soit en lien avec l’enseignement d’informatique.

3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication

L’enseignement de mathématiques en BCPST a pour objectif de développer des compétences utiles aux scientifiques, tant les ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pour identifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre et prendre avec le recul suffisant des décisions en environnement complexe.

Les compétences en question sont les suivantes :

• savoir s’engager dans une recherche et mettre en oeuvre des stratégies, c’est-à-dire analyser un problème, se poser des questions, expérimenter sur des exemples et formuler des conjectures ;
• savoir modéliser, traduire un phénomène en langage mathématique, élaborer des concepts et des outils lors d’une phase d’abstraction ou de conceptualisation,
• savoir représenter numériquement, algébriquement ou géométriquement un problème ou un objet mathématique, être capable de passer d’un registre à un autre et d’un mode de représentation à un autre ;
• savoir raisonner, démontrer et argumenter, effectuer des inférences, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, et évaluer la pertinence d’un concept au regard du problème posé ;
• savoir calculer, manipuler des symboles et maîtriser le formalisme mathématique ;
• savoir communiquer à l’écrit et à l’oral, comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, opérer la conversion entre le langage naturel et le langage symbolique formel, rédiger une solution rigoureuse et défendre une production mathématique pour convaincre un interlocuteur ou un auditoire.

4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques en terminale à dominante scientifique

Le programme se situe dans la continuité des enseignements dispensés en mathématiques en première et terminale.

Il s’organise autour de 4 grands axes :

• l’analyse permet de mettre en place les méthodes courantes de travail sur les suites et les fonctions, les séries sont un outil pour les probabilités et l’étude des intégrales généralisées est insérée dans la mise en place des variables aléatoires à densité, enfin l’étude des couples de variables aléatoires discrètes conduit à définir la notion de séries doubles,
• l’algèbre, dont l’algèbre linéaire présenté par le biais du calcul (systèmes d’équations linéaires, calcul matriciel), les espaces vectoriels abordés en première et deuxième année, une présentation du produit scalaire dans Rn et du théorème de projection orthogonale est proposée,
• les probabilités et les statistiques, dont la reprise des notions de statistique descriptive, l’étude de la régression linéaire utilisée dans les sciences expérimentales, l’étude du langage de la théorie des ensemble, des techniques élémentaires de dénombrement et les espaces probabilisés finis, en deuxième année sont abordées les variables aléatoires en univers infini et la statistique inférentielle qui permet de mettre en place un cadre précis pour les tests d’hypothèse,
• la démarche algorithmique par le recours à l’outil informatique.

5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique

Les outils sont les notions qui seront utiles tout au long des deux années de classe prépa. 

Outil 1 – Vocabulaire de la logique et des ensembles (BCPST1-S1)

1. Logique élémentaire
2. Vocabulaire des ensembles

Outil 2 – Nombres (BCPST1-S1)

1. Nombres entiers
2. Nombres réels
3. Nombres complexes

Outil 3 – Trigonométrie (BCPST1-S1)

Outil 4 – Méthodes de calcul (BCPST1-S1)

Outil 5 – Vocabulaire des applications (BCPST1-S1)

Outil 6 – Dénombrement (BCPST1-S1)

L’analyse est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux fonctions (limite, continuité, dérivabilité, intégration, équations différentielles ) et aux suites.

Analyse 1 – Suites usuelles (BCPST1-S1)

Analyse 2 – Fonctions usuelles (BCPST1-S1)

Analyse 3 – Dérivées et primitives (BCPST1-S1)

1. Dérivées 
2. Primitives

Analyse 4 – Equations différentielles linéaires à coefficients constants (BCPST1-S1)

Analyse 5 – Suites réelles (BCPST1-S1)

Analyse 6 – Limites, continuité (BCPST1-S2)

1. Limites 
2. Comparaison de fonctions 
3. Continuité 
4. Bijections continues

Analyse 7 – Dérivation (BCPST1-S2)

1. Dérivée
2. Théorème de Rolle et conséquences 
3. Dérivées d’ordre supérieur 

Analyse 8 – Développements limités (BCPST1-S2)

1. Développements limités 
2. Etude de fonctions et recherche d’asymptotes 

Analyse 9 – Intégration (BCPST1-S2)

1. Notions fondamentales 
2. Compléments

Analyse 10 – Equations différentielles (BCPST1-S2)

1. Equations du premier ordre 
2. Equations du second ordre

Analyse 11 – Fonctions réelles de deux variables réelles (BCPST1-S2)

L’algèbre linéaire recouvre tout à la fois les systèmes linéaires, les matrices, les espaces vectoriels et les applications linéaires. En BCPST, on s’intéresse tout particulièrement à la structure des espaces vectoriels et aux applications linéaires. 

Note : 

L’algèbre est historiquement la branche des mathématiques qui s’intéresse à l’étude et à la résolution d’équation (systèmes d’équations, racines de polynômes…). Les systèmes d’équations linéaires peuvent être représentés par des matrices. Aujourd’hui, l’algèbre désigne surtout l’étude de « structures » mathématiques et de leurs propriétés.

Algèbre – Polynômes (BCPST1-S1)

Algèbre linéaire 1 – Systèmes linéaires (BCPST1-S1)

Algèbre linéaire 2 – Matrices (BCPST1-S1)

Algèbre linéaire 3 – Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels (BCPST1-S2)

1. Structure vectorielle 
2. Dimension 

Algèbre linéaire 3 bis – Espaces vectoriels (BCPST2)

1. Structure vectorielle 
2. Dimension

Algèbre linéaire 4 – Applications linéaires et matrices (BCPST1-S2)

Algèbre linéaire 4 bis – Applications linéaires et matrices (BCPST2)

1. Applications linéaires 
2. Cas de la dimension finie
3. Matrices et applications linéaires
4. Changement de base

Algèbre linéaire 5 – Vecteurs propres, valeurs propres (BCPST2)

1. Eléments propres
2. Diagonalisation

La géométrie permet notamment d’introduire l’algèbre linéaire, puis bénéficie des apports théoriques de l’algèbre linéaire (projection orthogonale).

Géométrie 1 – Géométrie dans le plan, dans l’espace (BCPST1-S1)

1. Produit scalaire dans le plan ou l’espace
2. Droites et cercles dans le plan
3. Droites et plans dans l’espace
4. Barycentres

Géométrie 2 – Produit scalaire dans R^n (BCPST2)

1. Produit scalaire dans R^n
2. Projection orthogonale 

Les probabilités jouent un grand rôle dans la modélisation mathématique de certains phénomènes naturels.

Probabilités 1 – Concepts de base des probabilités (BCPST1-S2)

1. Vocabulaire des expériences aléatoires et des probabilités
2. Etude du conditionnement 

Probabilités 2 – Variables aléatoires finies (BCPST1-S2)

1. Variables aléatoires finies
2. Lois usuelles
3. Couple de variables aléatoires finies
4. Généralisation au cas de n variables aléatoires

Probabilités 3 – Concepts de base des probabilités et des variables aléatoires (BCPST2)

1. Séries réelles
2. Notion de probabilité (généralisation)
3. Variables aléatoires réelles (généralisation)
4. Espérance et variance (généralisation) 

Probabilités 4 – Variables aléatoires à densité (BCPST2)

1. Intégrales généralisées 
2. Variables aléatoires admettant une densité 
3. Lois usuelles 
4. Sommes de variables aléatoires à densité indépendantes 

Probabilités 5 – Variables aléatoires réelles discrètes (BCPST2)

1. Variables aléatoires réelles discrètes 
2. Lois usuelles discrètes 

Probabilités 6 – Couples de variables aléatoires discrètes (BCPST2)

1. Séries doubles à termes positifs
2. Couples de variables aléatoires discrètes

Les statistiques permettent de faire le lien entre démarche expérimentale et probabilités.

Statistique 1 – Statistique descriptive (BCPST1-S1)

1. Statistique univariée 
2. Statistique bivariée 

Statistique 2 – Théorèmes limites et statistique inférentielle (BCPST2)

1. Vocabulaire de l’échantillonnage et de l’estimation 
2. Théorèmes limites
3. Applications statistiques 

L’informatique présente deux aspects, un théorique pour l’algorithmique et un pratique pour la programmation. 

L’outil informatique permet de mettre en œuvre des algorithmes visant à résoudre des problèmes : 

• outil de résolution approchée de problèmes mathématiques (méthodes numériques), 
• outil de visualisation, 
• outil d’analyse de données, 
• outil de simulation, etc…

Informatique 1 (BCPST1)

1. Mise en place : fonctionnement d’un ordinateur, rôle d’un système d’exploitation, environnement de développement
2. Programmation en Python : variables, expressions, instructions, instructions conditionnelles, fonctions, instructions itératives (boucles for, boucles while), structures de données (chaînes de caractères, listes, tableaux), manipulation de fichiers, bibliothèques logicielles
3. Algorithmique : recherche dans une liste, recherche du maximum dans une liste, calcul de la moyenne, recherche de mot dans une chaîne de caractères, tri à bulles, tri insertion, calcul de médiane, traitement d’images en niveaux de gris, simulation d’une variable aléatoire

Informatique 2 (BCPST2)

1. Complément d’algorithmique : algorithme de tri rapide, graphe, algorithme de Dijkstra (plus courts chemins dans un graphe), simulation d’une variable aléatoire à densité
2. Méthodes numériques sur des exemples : résolution approchée d’équations différentielles, résolution de systèmes linéaires, statistique, simulation, traitement de données expérimentales, traitement d’images, etc…
3. Réalisation d’un projet : travail en groupe sur une problématique liée à un thème donné