Programme de mathématiques en prépa ECE : tout savoir

L’enseignement des mathématiques en classe préparatoire économique et commerciale voie ECE et un des trois enseignements (avec Économie-Sociologie-Histoire du monde contemporain et la culture générale) qui bénéficie du nombre d’heures d’enseignement le plus important. 

Objet des épreuves aux plus forts coefficients pour les concours aux grandes écoles de commerce, il s’agit du cours qui nécessitera certainement l’investissement le plus important en début d’année afin de se hisser au niveau requis en prépa.

Sommaire :

1. Un programme dense pour une des épreuves phares du concours aux grandes écoles de commerce
2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils
3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication
4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques complémentaires en terminale
5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique
   1. Première année
   2. Deuxième année

1. Un programme dense pour une des épreuves phares du concours aux grandes écoles de commerce

L’enseignement de mathématiques voie ECE fait l’objet de 6h de cours hebdomadaires et de 2h de TD. À cela, il faut ajouter l’informatique, les colles (préparation aux épreuves orales des concours) et les devoirs sur table d’une durée de 4h.

Il a vocation à préparer aux épreuves des concours aux grandes écoles de commerce. Le concours HEC présente par exemple 2 épreuves écrites distinctes de mathématiques à passer pour l’admissibilité qui comptent pour près d’un quart de la note et une épreuve orale qui compte pour un cinquième des notes d’admission.

Cette matière est celle qui requiert un investissement immédiat afin de solidifier ses acquis et ses bases pour ensuite maîtriser progressivement l’ensemble du programme nécessaire à la réussite aux différentes épreuves de concours.

La parfaite compréhension des notions de cours allié à la pratique de nombreux exercices et l’étude approfondie des annales permettent d’acquérir les réflexes et les savoirs nécessaires pour se présenter aux épreuves dans les meilleures conditions possibles.

2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils

Les mathématiques jouent un rôle important en sciences économiques et en gestion. Elles sont fondamentales dans la finance ou la gestion d’entreprise, la finance de marché, les sciences sociales.

Par exemple, les probabilités et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’économie et dans une grande variété de métiers auxquels vous formeront les écoles de commerce que vous intégrerez (actuariat, finance quantitative,prévisions économiques…).

L’objectif est de faire de vous des personnes capables d’utiliser des outils mathématiques ou d’en comprendre l’usage lorsque vous en aurez besoin lors de votre parcours académique ou professionnel.

Il est attendu de cet enseignement de mathématique de :

• structurer votre pensée et de vous former à la rigueur d’un raisonnement et à la logique,
• de vous faire acquérir les outils utiles notamment en sciences sociales et en économie,
• de vous permettre de développer votre culture sur les enjeux actuels et les techniques afférentes de l’informatique en lien avec des problématiques issues des sciences sociales ou économiques et l’acquisition de la démarche algorithmique pour résoudre un problème ou simuler une situation.

3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication

L’enseignement de mathématiques en prépa HEC voie ECE a vocation à développer les compétences suivantes :

• rechercher et mettre en oeuvre des stratégies adéquates : savoir analyser un problème, émettre des conjectures, choisir des concepts et des outils mathématiques pertinents,
• modéliser : savoir conceptualiser des situations concrètes et les traduire en langage mathématique, élaborer des algorithmes,
• interpréter : interpréter les résultats et savoir porter un regard critique,
• raisonner et argumenter : savoir conduire une démonstration, confirmer ou infirmer des conjectures,
• maîtriser le formalisme et les techniques mathématiques et savoir utiliser avec discernement l’outil informatique,
• communiquer par écrit et oralement : comprendre les énoncés, savoir rédiger une solution rigoureuse et présenter une production mathématique.

4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques complémentaires en terminale

Le programme se situe dans le prolongement de celui de mathématiques de première et de terminale voie économique et sociale. À l’issue des deux années, le bagage apporté permettra de suivre les enseignements spécialisés de mathématiques, d’économie et de gestion dispensés en Grande École.

Il s’organise autour de points forts :

• l’algèbre linéaire abordé par le biais du calcul, systèmes d’équations linéaires, le calculs matriciels, les espaces vectoriels de dimension finie, la réduction des endomorphisme en dimension finie et la diagonalisation des matrices carrées sont au programme en deuxième année,
• l’analyse afin de travailler sur les suites et les fonctions, l’étude des séries et des variables aléatoires discrètes, puis l’étude des intégrales généralisées pour permettre l’étude des variables aléatoires à densité, et enfin l’étude des fonctions à deux variables réelles pour initier aux problèmes d’optimisation cruciaux en économie et en finance,
• les probabilités par l’étude des variables aléatoires discrètes, des couples et des suites de variables aléatoires discrètes, sont introduites aussi les variables aléatoires à densité pour permettre une bonne compréhension des concepts d’estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance,
• l’algorithmique avec Scilab, afin d’apprendre à utiliser de manière judicieuse et autonome cet outil et permettre d’illustrer ou de modéliser des situations concrètes en mobilisant ses connaissances mathématiques.

L’accent est mis sur l’interaction entre les différentes parties du programme. L’algèbre linéaire trouve ainsi son application dans les problèmes d’optimisation, l’analyse et les probabilités dans les problèmes d’estimation.

Les cours sont organisés en semestres et le premier semestre a pour objectif de s’assurer que l’ensemble des étudiants ont les outils et les bases nécessaires à la maîtrise du reste du programme.

5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique

5.1. Première année

Programme de Mathématiques

I – Raisonnement et vocabulaire ensembliste (A1S1)

1. Éléments de logique
2. Raisonnement par récurrence
3. Ensembles, applications
   1. Ensembles, parties d’un ensemble
   2. Applications

II – Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires (A1S1)

1. Calcul matriciel
   1. Définitions
   2. Opérations matricielles
2. Systèmes linéaires

IV – Suites de nombres réels (A1S1)

1. Généralités sur les suites réelles
2. Suites usuelles : formes explicites
3. Convergence d’une suite réelle
4. Comportement asymptotique des suites usuelles

V – Fonctions réelles d’une variable réelle (A1S1)

1. Complément sur les fonctions usuelles
   1. Fonctions polynomiales, polynômes
   2. Fonction logarithme et exponentielle
   3. Fonctions racine carrée, fonction inverse, fonctions puissances
   4. Fonction valeur absolue
   5. Fonction partie entière
2. Limite et continuité d’une fonction en un point
3. Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle

VI – Probabilités sur un univers fini (A1S1)

1. Événements
2. Coefficients binomiaux
3. Probabilité
4. Probabilité conditionnelle
5. Indépendance en probabilité

Second semestre

I – Calcul différentiel et intégral (A1S2)

1. Calcul différentiel
   1. Dérivation
   2. Dérivées successives
   3. Convexité
2. Intégration sur un segment
   1. Définition
   2. Propriétés de l’intégrale
   3. Techniques de calcul d’intégrales
3. Intégrales sur un intervalle de type [a,+∞[, ]−∞,b] ou ]−∞,+∞[ 

II – Étude élémentaire des séries (A1S2)

1. Séries numériques à termes réels
2. Séries numériques usuelles

III – Espaces vectoriels et applications linéaires (A1S2)

1. Structure vectorielle sur Mn,1(R)
2. Sous-espaces vectoriels de Mn,1(R) 
3. Applications linéaires de Mn,1(R)  dans Mp,1(R) 

IV – Probabilités – Variables aléatoires réelles

1. Probabilités – généralisation
   1. Notion de tribu
   2. Probabilité
   3. Indépendance en probabilité
2. Généralités sur les variables aléatoires réelles
3. Variables aléatoires discrètes
   1. Variables aléatoires discrètes à valeur dans R
   2. Moments d’une variable aléatoire discrète
4. Lois usuelles
   1. Lois discrètes finies
   2. Lois discrètes infinies
5. Introduction aux variables aléatoires réelles à densité
   1. Définition des variables aléatoires à densité
   2. Espérance d’une variable aléatoire à densité
   3. Lois à densité usuelles

Programme d’informatique

I. L’environnement logiciel

1. Constantes prédéfinies. Création de variables par affectation
2. Construction de vecteurs et de matrices numériques
3. Opérations élémentaires
4. Fonctions usuelles prédéfinies

II. Graphisme en deux dimensions

III. Programmation d’algorithmes et de fonctions

5.2. Deuxième année

Programme de deuxième année de mathématiques

I – Algèbre linéaire (A2S3)

1. Calcul vectoriel, calcul matriciel
   1. Espaces vectoriels réels
   2. Généralités sur les applications linéaires
   3. Applications linéaires en dimension finie
2. Réduction des endomorphisme et des matrices carrées
   1. Réduction des endomorphisme
   2. Réduction des matrices carrées

II – Compléments d’analyse (A2S3)

1. Compléments sur les suites et les séries
   1. Comparaison des suites réelles
   2. Suites récurrentes
   3. Compléments sur les séries
2. Compléments sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle
   1. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point
   2. Développements limités
3. Compléments sur l’intégration généralisée à un intervalle quelconque
   1. Convergence des intégrales de fonctions positives sur un intervalle de type [a,+∞[ ou ]−∞,a]
   2. Intégrales sur un intervalle de type [a,b[ ou ]a,b] 
   3. Extension au cas de fonctions ayant un nombre fini de points de discontinuité sur un intervalle I.

III – Complément sur les variables aléatoires discrètes (A2S3)

1. Couples de variables aléatoires discrètes
2. Suites de variables aléatoires discrètes

I – Fonctions numériques de deux variables réelles (A2S4)

1. Fonctions continues sur R carré
2. Calcul différentiel pour les fonctions définies sur R carré
3. Extrema d’une fonction de deux variables réelles

II – Compléments sur les variables aléatoires réelles (A2S4)

1. Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques
2. Compléments sur les variables aléatoires à densité
   1. Régularité des fonctions de répartition
   2. Exemples simples de transferts
   3. Compléments sur les lois usuelles
   4. Moments d’une variable aléatoire à densité

III. Convergences et approximations ; estimation (A2S4)

1. Convergences et approximations
   1. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev
   2. Loi faible des grands nombres
   3. Convergence en loi
2. Estimation
   1. Estimation ponctuelle
   2. Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique

Enseignement de deuxième année d’informatique et d’algorithmique

1. Statistiques descriptives univariées
2. Statistiques descriptives bivariées
3. Chaînes de Markov
4. Fonctions de deux variables
5. Simulation de lois
6. Estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance