Maths en prépa ECG : le programme

Suite à la réforme du bac et la naissance de la prépa unifiée voie ECG, il est proposé aux élèves de faire un choix sur l’enseignement de mathématiques qu’ils souhaiteront étudier durant leurs deux années de classe préparatoire aux grandes écoles de commerce :

• mathématiques approfondies, ou
• mathématiques appliquées.

Voici une présentation détaillée des objectifs et des programmes de mathématiques et d’informatique en prépa ECG.

Sommaire :

1. Un choix offert entre mathématiques appliquées et mathématiques approfondies
2. Les mathématiques : la matière la plus importante du cursus en ECG
3. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils
4. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication
5. Un programme dense s’organisant autour de l’étude de l’algèbre, de l’analyse, des probabilités et des outils informatiques
   5.1 Présentation générale
   5.2 Mathématiques approfondies et informatique : le programme en détail
   5.3 Mathématiques appliquées et informatique : le programme en détail

1. Un choix offert entre mathématiques appliquées et mathématiques approfondies

La réforme propose aux étudiants de poursuivre leur formation en classe prépa en choisissant, en sus des matières du tronc commun, un enseignement de mathématiques et un enseignement de sciences sociale parmi :

• mathématiques approfondies,ou
• mathématiques appliquées, et
• économie, sociologie, histoire du monde contemporain (ESH),ou
• histoire, géographie et géopolitique du monde contemporain (HGG).

Ce sont donc 4 parcours de formation qui sont possibles en fonction des options choisies.

Afin de s’inscrire en ECG, il faut avoir suivi un enseignement de maths jusqu’en terminale.

Le programme de mathématiques appliquées s’adresse à des étudiants ayant suivi à minima le cours de mathématiques complémentaires en terminale (équivalent de l’ancien programme de maths en ES).

Le programme de mathématiques approfondies est en principe conçu pour que des étudiants ayant suivi le cours de mathématiques complémentaires puisse le suivre. Cependant, les étudiants ayant choisi une spécialité mathématiques (équivalent de l’ancien programme de maths en S) et a fortiori l’option maths expertes seront plus à l’aise avec le programme.

En pratique, les lycées qui proposaient une prépa ECS proposent l’enseignement de mathématiques approfondies, et les lycées qui proposaient une prépa ECE proposent l’enseignement de mathématiques appliquées.

2. Les mathématiques : la matière la plus importante du cursus en ECG

L’enseignement de mathématiques approfondies est celui qui présente le plus gros volume horaire d’enseignement par semaine : 7 heures de cours et 2 heures de TD sont prévues.

L’enseignement de mathématiques appliquées lui présente une heure de cours hebdomadaire en moins : 6 heures de cours et 2 heures de TD.

Il convient d’ajouter l’enseignement d’informatique en TD : le plus souvent 2 heures de TD tous les quinze jours, les devoirs sur table, les colles hebdomadaires (examens oraux d’entraînement aux épreuves des concours) et bien-sûr les concours blancs.

Concernant le poids relatif des épreuves associées aux concours, HEC a déjà communiqué sur le fait que les mathématiques feront toujours l’objet de deux épreuves écrites et que le total des coefficients sera de 30 répartis sur l’ensemble des épreuves avec des coefficients importants pour ces épreuves de maths (jusqu’à plus d’un tiers des coefficients des épreuves écrites).

Pour l’heure, chaque épreuve de mathématique est de 4h et les coefficients sont de 11/30 pour la voie ECS à HEC et l’ESSEC, et de 8/30 pour la voie ECE. Il s’agit des épreuves dont le poids cumulé est le plus important pour les épreuves écrites.

3. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils

Les mathématiques jouent un rôle important en sciences économiques et en gestion. Elles sont fondamentales dans la finance ou la gestion d’entreprise, la finance de marché et les sciences sociales.

Par exemple, les probabilités et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’économie et dans une grande variété de métiers auxquels vous formeront les écoles de commerce que vous intégrerez (actuariat, finance quantitative,prévisions économiques…).

L’objectif est de faire de vous des personnes capables d’utiliser des outils mathématiques ou d’en comprendre l’usage lorsque vous en aurez besoin lors de votre parcours académique ou professionnel.

Il est attendu de cet enseignement de mathématiques de :

• structurer votre pensée et de vous former à la rigueur d’un raisonnement et à la logique,
• de vous faire acquérir les outils utiles notamment en sciences sociales et en économie,
• de vous permettre de développer votre culture sur les enjeux actuels et les techniques afférentes de l’informatique en lien avec des problématiques issues des sciences sociales ou économiques et l’acquisition de la démarche algorithmique pour résoudre un problème ou simuler une situation.

4. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication

L’enseignement de mathématiques en prépa ECG a vocation à développer les compétences suivantes :

• rechercher et mettre en œuvre des stratégies adéquates : savoir analyser un problème, émettre des conjectures, choisir des concepts et des outils mathématiques pertinents,
• modéliser : savoir conceptualiser des situations concrètes et les traduire en langage mathématique, élaborer des algorithmes,
• interpréter : interpréter les résultats et savoir porter un regard critique,
• raisonner et argumenter : savoir conduire une démonstration, confirmer ou infirmer des conjectures,
• maîtriser le formalisme et les techniques mathématiques et savoir utiliser avec discernement l’outil informatique,
• communiquer par écrit et oralement : comprendre les énoncés, savoir rédiger une solution rigoureuse et présenter une production mathématique.

5. Un programme dense s’organisant autour de l’étude de l’algèbre, de l’analyse, des probabilités et des outils informatiques

5.1. Présentation générale

Le programme défini pour les mathématiques appliquées ou approfondies sont tous deux très denses mais, dans l’esprit et la matière, ils se distinguent.

Le programme de mathématiques approfondie bénéficie d’une heure de plus d’enseignement et plus de temps est consacré aux preuves et aux exemples, on peut le considérer comme requièrant de plus grandes capacités d’abstraction et d’être à l’aise avec des démarches plus conceptuelles. Il est recommandé pour des élèves dont les mathématiques sont le point fort et qui ont une forte appétence pour la matière, puisque les coefficients aux épreuves des concours y seront plus importants et que le programme y est plus dense, plus important, plus approfondi. 

Le programme de mathématiques appliquées est plus abordable, notamment au premier semestre et est tourné vers l’utilisation d’outils mathématiques et informatiques pour résoudre des problématiques concrètes. Il constitue une option préférable pour tout étudiant dont le profil serait plus homogène (d’un bon niveau aussi dans les autres matières) puisque les coefficients des épreuves aux concours seront plus équilibrés.

Quoiqu’il en soit, l’étude des mathématiques s’organise autour de 4 grands axes :

• l’algèbre linéaire puis bilinéaire (systèmes d’équations linéaires, calculs matriciels, espaces vectoriels de dimension finie, matrice diagonalisable, etc…),
• l’analyse afin de travailler sur les suites et les fonctions, l’étude des séries et des variables aléatoires discrètes, puis l’étude des intégrales généralisées pour permettre l’étude des variables aléatoires à densité, et enfin l’étude des fonctions à deux variables réelles pour initier aux problèmes d’optimisation cruciaux en économie et en finance,
• les probabilités par l’étude des variables aléatoires discrètes, des couples et des suites de variables aléatoires discrètes, les graphes probabilistes et la chaîne de Markov associée ; sont introduites aussi les variables aléatoires à densité pour permettre une bonne compréhension des concepts d’estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance, et
• l’informatique, afin de pouvoir construire ou reconnaître des algorithmes relevant par exemple de la simulation de lois de probabilité, de la recherche de valeurs approchées ou d’extrema en analyse, d’outils de calculs en algèbre linéaire ou de différentes techniques d’estimation.

L’accent est mis sur l’interaction entre les différentes parties du programme. Les probabilités permettent en particulier d’utiliser certains résultats d’analyse (suite, séries…) et d’algèbre linéaire et justifient l’introduction du vocabulaire ensembliste.

Les cours sont organisés en semestres et le premier semestre a pour objectif de s’assurer que l’ensemble des étudiants ont les outils et les bases nécessaires à la maîtrise du reste du programme.

5.1 Mathématiques approfondies et informatique : le programme en détail

Première année

Programme de mathématiques approfondies

I – Raisonnement et vocabulaire ensembliste (A1S1)

1. Éléments de logique
2. Raisonnement par récurrence et calcul de sommes de produits
3. Ensembles, applications
   1. Ensembles, parties d’un ensemble
   2. Applications

II – Polynômes (A1S1)

III – Algèbre linéaire (A1S1)

1. Calcul matriciel
   1. Matrices rectangulaires
   2. Cas des matrices carrées
2. Systèmes linéaires
3. Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

IV – Suites de nombres réels (A1S1)

1. Vocabulaire sur l’ensemble R des nombres réels
2. Exemples de suites réelles
3. Convergence des suites réelles – Théorèmes fondamentaux

V – Fonctions réelles d’une variable réelle (A1S1)

1. Limite et continuité d’une fonction d’une variable en un point
2. Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle
3. Dérivation
4. Intégration sur un segment

VI – Probabilités sur un ensemble fini (A1S1)

1. Généralités
   1. Observation d’une expérience aléatoire – Événements
   2. Probabilité
   3. Probabilité conditionnelle
   4. Indépendance en probabilité
2. Variables aléatoires réelles finies
3. Lois usuelles

I – Algèbre linéaire (A1S2)

1. Espaces vectoriels de dimension finie
2. Compléments sur les espaces vectoriels
3. Applications linéaires
   1. Cas général
   2. Cas de la dimension finie
   3. Matrices et applications linéaires
   4. Cas des endomorphismes et des matrices carrées

II – Compléments d’analyse (A1S2)

1. Étude asymptotique des suites
2. Comparaison des fonctions d’une variable au voisinage d’un point
3. Séries numériques
4. Intégrales sur un intervalle quelconque
5. Dérivées successives
6. Formule de Taylor
7. Développements limités
8. Extremum
9. Fonctions convexes
10. Graphes de fonctions

III – Probabilités sur un ensemble quelconque (A1S2)

1. Espace probabilisé
2. Variables aléatoires réelles discrètes
3. Lois de variables aléatoires discrètes usuelles
4. Couples de variables aléatoires réelles discrètes
5. Convergences et approximations

Programme d’informatique (A1)

1. Programmation d’algorithmes et de fonctions
2. Commandes exigibles
   1. Disponibles de base dans Python
   2. Disponibles dans la librairie “numpy”
   3. Dans la librairie “numpy.linalg”
   4. Dans la librairie “numpy.random”
   5. Dans la librairie “scipy.special”
   6. Dans la librairie “matplotlib.pyplot”
   7. Utilisation de la fonction Axes3D
3. Liste de savoir-faire exigibles

• Représentation graphique d’une fonction
• Calcul des termes et représentation graphique d’une suite
• Calculs de valeurs approchées de la limite d’une suite ou de la somme d’une série
• Calcul approché de la racine d’une fonction de type f(x)=0
• Valeur approchée d’une intégrale par la méthode des rectangles
• Utilisation de la fonction rd.random pour simuler des expériences aléatoires
• Simulation d’échantillons de lois usuelles
• Série statistique associée à un échantillon
• Approche expérimentale de la loi de Gauss
• Calcul approché d’une probabilité
• Résolution de systèmes MX=B

Deuxième année

Programme de deuxième année de mathématiques approfondies

I – Algèbre linéaire et bilinéaire (A2S3)

1. Compléments d’algèbre linéaire
   1. Somme directe de sous-espaces vectoriels
   2. Changement de base
   3. Trace
2. Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées, réduction
   1. Vecteurs propres et espaces propres
   2. Recherche d’éléments propres
   3. Propriétés générales
   4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
3. Algèbre bilinéaire
   1. Produit scalaire
   2. Espaces euclidiens

II – Fonctions réelles définies sur Rn (A2S3)

1. Introduction aux fonctions définies sur Rn
2. Calcul différentiel
   1. Dérivées partielles, gradient
   2. Recherche d’extremum : condition d’ordre 1

III – Compléments de probabilités ; couples et n-uplets de variables aléatoires réelles (A2S3)

1. Compléments sur les variables aléatoires réelles
   1. Généralités sur les variables aléatoires réelles
   2. Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes
2. Introduction aux variables aléatoires à densité
   1. Densités et fonction de répartition d’une variable aléatoire
   2. Espérance des variables aléatoires à densité
3. Lois de variables aléatoires à densité usuelles
4. Variance des variables aléatoires à densité
5. n-uplets de variables aléatoires réelles ; généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance
   1. Généralisation
   2. Indépendance
   3. Le cas particulier du couple
   4. Sommes de variables aléatoires indépendantes

I – Compléments d’algèbre bilinéaire (A2S4)

1. Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques
2. Projection orthogonale
3. Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

II – Fonctions réelles de n variables définies sur un ouvert de Rn ; recherche d’extrema (A2S4)

1. Fonction de n variables définies sur une partie de Rn
2. Compléments sur les fonctions de classe C² sur un ouvert de Rn
3. Recherche d’extrema
   1. Définition
   2. Extrema sur un ensemble fermé borné
   3. Condition d’ordre 1
   4. Condition d’ordre 2
   5. Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires

III – Probabilités : convergences, estimation (A2S4)

1. Convergences et approximations
   1. Convergence en probabilité
   2. Convergence en loi
2. Estimation
   1. Estimation ponctuelle
   2. Intervalle de confiance
   3. Estimation par intervalle de confiance asymptotique
   4. Comparaison des estimateurs

Travaux pratiques de mathématiques avec Python

I –  Savoir-faire et compétences

C1: Produire et interpréter des résumés numériques et graphiques d’une série statistique (simple,double) ou d’une loi.

C2: Modéliser et simuler des phénomènes (aléatoires ou déterministes) et les traduire en langage mathématique.

C3: Représenter et exploiter le graphe d’une fonction d’une, deux variables.

C4: Représenter et interpréter différents types de convergences.

C5: Utiliser la méthode de Monte-Carlo sur des exemples pertinents (calcul approché d’intégrales, de probabilités).

C6: Porter un regard critique sur les méthodes d’estimation et de simulation

II – Liste des thèmes

1. Statistiques descriptives bivariées (3h, C1 et C6)
2. Fonctions de plusieurs variables (3h, C2 et C3)
3. Simulation de lois (6h, C1, C2, C3 et C6)
4. Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance (6h, C2, C4, C5 et C6)

5.3. Mathématiques appliquées et informatique : le programme en détail

Première année

Programme de mathématiques appliquées

I – Raisonnement et vocabulaire ensembliste (A1S1)

1. Éléments de logique
2. Raisonnement par récurrence
3. Ensembles, applications
   1. Ensembles, parties d’un ensemble
   2. Applications

II – Calcul matriciel et résolution de systèmes linéaires (A1S1)

1. Systèmes linéaires
2. Calcul matriciel
   1. Définitions
   2. Opérations matricielles

III – Théorie des graphes (A1S1)

IV – Suites de nombres réels (A1S1)

1. Généralités sur les suites réelles
2. Suites usuelles : formes explicites
3. Convergence d’une suite réelle
4. Comportement asymptotique des suites usuelles

V – Fonctions réelles d’une variable réelle (A1S1)

1. Complément sur les fonctions usuelles
   1. Fonctions polynômes
   2. Fonctions racine carrée, fonction inverse, fonctions puissances
   3. Fonction valeur absolue
   4. Fonction partie entière
   5. Fonction logarithme et exponentielle
2. Limite et continuité d’une fonction en un point
3. Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle
4. Représentations de graphes des fonctions d’une variable sur un intervalle. Régionnements du plan

VI – Probabilités et statistiques (A1S1)

1. Statistiques univariées
   1. Généralités
   2. Étude d’une variable quantitative discrète
2. Événements
3. Coefficients binomiaux
4. Probabilité
5. Probabilité conditionnelle
6. Indépendance en probabilité

I – Espace Rn, sous-espaces vectoriels et applications linéaires (A1S2)

1. Espaces Rn
2. Sous-espaces vectoriels de Rn
3. Applications linéaires de Rn dans Rm

II – Calcul différentiel et intégral (A1S2)

1. Calcul différentiel
   1. Dérivation
   2. Dérivées successives
   3. Convexité
2. Représentations de graphes des fonctions d’une variable sur un intervalle
3. Équations différentielles linéaires à coefficient constants
4. Intégration sur un segment
   1. Définition
   2. Propriétés de l’intégrale
   3. Techniques de calcul d’intégrales

III – Étude élémentaire des séries (A1S2)

1. Séries numériques à termes réels
2. Séries numériques usuelles

IV – Probabilités – Variables aléatoires réelles

1. Espace probabilisé
2. Généralités sur les variables aléatoires réelles
3. Variables aléatoires discrètes
   1. Variables aléatoires discrètes à valeur dans R
   2. Moments d’une variable aléatoire discrète
4. Lois usuelles
   1. Lois discrètes finies
   2. Lois discrètes infinies

Programme d’informatique, langage Python (A1)

I – Premier semestre

1. Algorithmique des listes
2. Statistiques descriptives et analyse de données
3. Approximation numérique

II – Deuxième semestre

1. Graphes finis, plus courts chemins
2. Simulation de phénomènes aléatoires

Deuxième année

Programme de mathématiques appliquées

I – Algèbre linéaire (A2S3)

1. Espaces vectoriels réels de dimension finie
2. Endomorphismes d’un espace vectoriel réel de dimension finie
3. Réduction des matrices carrées

II – Compléments d’analyse (A2S3)

1. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
2. Compléments sur les suites et les séries
   1. Comparaison des suites réelles
   2. Suites récurrentes du type un+1=f(un)  
   3. Compléments sur les séries
3. Compléments sur l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle
   1. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point
   2. Développements limités
4. Intégration généralisée à un intervalle quelconque
   1. Intégrales sur un intervalle de type [a,+∞[,]−∞,b] ou ]−∞,+∞[
   2. Convergence des intégrales de fonctions positives sur un intervalle de type [a,+∞[ou]−∞,a]
   3. Convergence absolue

III – Probabilités et statistiques (A2S3)

1. Statistiques bivariées
2. Couples de variables aléatoires discrètes
3. Suites de variables aléatoires discrètes

I – Fonctions numériques de deux variables réelles (A2S4)

1. Fonctions continues sur R²
2. Calcul différentiel pour les fonctions définies sur R²
3. Extrema d’une fonction de deux variables réelles

II – Probabilités (A2S4)

1. Graphes probabilistes (chaîne de Markov)
2. Variables aléatoires à densité
   1. Définition des variables aléatoires à densité
   2. Moments d’une variable aléatoire à densité
   3. Lois à densité usuelles
   4. Exemples simples de transferts
3. Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques
4. Convergences et approximations
   1. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev
   2. Loi faible des grands nombres
   3. Convergence en loi
5. Estimation
   1. Estimation ponctuelle
   2. Estimation par intervalle de confiance

Enseignement de deuxième année d’informatique et d’algorithmique

1. Bases de données

Commandes : where, select from, insert into, delete from, update, select from inner join, create table

2. Équations et systèmes différentiels
3. Statistiques descriptives bivariées
4. Chaînes de Markov
5. Estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance