Programme de mathématiques en prépa ECS : tout savoir

L’enseignement des mathématiques en classe préparatoire économique et commerciale voie ECS et celui qui bénéficie du nombre d’heures d’enseignement le plus important.

Objet des épreuves aux plus forts coefficients pour les concours aux grandes écoles de commerce, il s’agit du cours qui nécessitera certainement l’investissement le plus important en début d’année afin de se hisser au niveau requis en prépa.

Sommaire :

1. Un programme dense pour les épreuves phares du concours aux grandes écoles de Commerce
2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils
3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication
4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques complémentaires en terminale
5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique
   1. Première année
   2. Deuxième année

1. Un programme dense pour les épreuves phares du concours aux grandes écoles de Commerce

L’enseignement de mathématiques en voie ECS fait l’objet de 7h de cours hebdomadaires et de 2h de TD. À cela, il faut ajouter les heures d’enseignement de l’informatique, les colles (préparation aux épreuves orales des concours) et les devoirs sur table d’une durée de 4h.

Il a vocation à préparer aux épreuves des concours aux grandes écoles de commerce. Le concours HEC présente par exemple 2 épreuves écrites distinctes de mathématiques à passer pour l’admissibilité qui comptent pour plus d’un tiers de la note et une épreuve orale qui compte pour un quart des notes d’admission.

Cette matière est celle qui requiert un investissement immédiat afin de solidifier ses acquis et ses bases pour ensuite maîtriser progressivement l’ensemble du programme nécessaire à la réussite aux différentes épreuves de concours.

La parfaite compréhension des notions de cours allié à la pratique de nombreux exercices et l’étude approfondie des annales permettent d’acquérir les réflexes et les savoirs nécessaires pour se présenter aux épreuves dans les meilleures conditions possibles.

2. L’objectif : former de futurs professionnels sachant utiliser les bons outils

Les mathématiques jouent un rôle important en sciences économiques et en gestion. Elles sont fondamentales dans la finance ou la gestion d’entreprise, la finance de marché, les sciences sociales.

Par exemple, les probabilités et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’économie et dans une grande variété de métiers auxquels vous formeront les écoles de commerce que vous intégrerez (actuariat, finance quantitative, prévisions économiques…).

L’objectif est de faire de vous des personnes capables d’utiliser des outils mathématiques ou d’en comprendre l’usage lorsque vous en aurez besoin lors de votre parcours académique ou professionnel.

Il est attendu de cet enseignement de mathématiques de :

• structurer votre pensée,
• vous former à la rigueur d’un raisonnement et à la logique.

3. Développer des compétences d’interprétation, de raisonnement, d’argumentation et de communication

L’enseignement de mathématiques en prépa HEC voie ECS a vocation à développer les compétences suivantes :

• rechercher et mettre en oeuvre des stratégies adéquates : savoir analyser un problème, émettre des conjectures, choisir des concepts et des outils mathématiques pertinents,
• modéliser : savoir conceptualiser des situations concrètes et les traduire en langage mathématique, élaborer des algorithmes,
• interpréter : interpréter les résultats et savoir porter un regard critique,
• raisonner et argumenter : savoir conduire une démonstration, confirmer ou infirmer des conjectures,
• maîtriser le formalisme et les techniques mathématiques et savoir utiliser avec discernement l’outil informatique,
• communiquer par écrit et oralement : comprendre les énoncés, savoir rédiger une solution rigoureuse et présenter une production mathématique.

4. Un programme en continuité avec l’enseignement de mathématiques complémentaires en terminale

Le programme se situe dans le prolongement de celui de mathématiques de première et de terminale scientifique. À l’issue des deux années, le bagage apporté permettra de suivre les enseignements spécialisés de mathématiques, économie et gestion dispensés en Grande École.

Il s’organise autour de 4 points forts :

• l’algèbre linéaire puis bilinéaire, abordé d’abord par le calcul matriciel et par les espaces vectoriels, afin de développer les capacités d’abstraction et de renforcer une démarche logique indispensable en mathématiques, en deuxième année sont abordés la réduction des endomorphismes et des matrices carrées ainsi que les structures euclidiennes,
• l’analyse pour mettre en place les méthodes courantes de travail sur les suites et les fonctions et de développer la rigueur, en deuxième année sont abordées l’étude des intégrales généralisée, les fonctions de plusieurs variables définies sur R^n et la notion de gradient et la résolution de problèmes d’optimisation avec ou sans contrainte,
• les probabilités (variables aléatoires discrètes, couples et suites de variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité), afin d’avoir une approche rigoureuse des méthodes de l’estimation ponctuelle ou par intervalles de confiance, et
• l’informatique avec SCILAB, afin d’apprendre à utiliser judicieusement et de manière autonome cet outil permettant de modéliser des situations concrètes en mobilisant ses connaissances mathématiques, permettre de construire ou de reconnaître des algorithmes relevant par exemple de la simulation de lois de probabilité, de la recherche de valeurs approchées en analyse ou d’outils de calculs en algèbre linéaire.

L’accent est mis sur l’interaction entre les différentes parties du programme. Les probabilités permettent en particulier d’utiliser certains résultats d’analyse (suite, séries…) et d’algèbre linéaire et justifient l’introduction du vocabulaire ensembliste.

Les cours sont organisés en semestres et le premier semestre a pour objectif de s’assurer que l’ensemble des étudiants ont les outils et les bases nécessaires à la maîtrise du reste du programme.

5. Le programme détaillé de mathématiques et d’informatique

5.1. Première année

Programme de Mathématiques

I – Raisonnement et vocabulaire ensembliste (A1S1)

1. Éléments de logique
2. Raisonnement par récurrence et calcul de sommes de produits
3. Ensembles, applications
   1. Ensembles, parties d’un ensemble
   2. Applications

II – Nombres complexes et Polynômes (A1S1)

1. Nombres complexes
2. Polynômes

III – Algèbre linéaire (A1S1)

1. Calcul matriciel
   1. Matrices rectangulaires
   2. Cas des matrices carrées
2. Systèmes linéaires
3. Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

IV – Suites de nombres réels (A1S1)

1. Vocabulaire sur l’ensemble R des nombres réels
2. Exemples de suites réelles
3. Convergence des suites réelles – Théorèmes fondamentaux

V – Fonctions réelles d’une variable réelle (A1S1)

1. Limite et continuité d’une fonction d’une variable en un point
2. Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle
3. Dérivation
4. Intégration sur un segment

VI – Probabilités sur un univers fini (A1S1)

1. Généralités
   1. Observation d’une expérience aléatoire – Événements
   2. Probabilité
   3. Probabilité conditionnelle
   4. Indépendance en probabilité
2. Variables aléatoires réelles finies
3. Lois usuelles
4. Complément de combinatoire

I – Algèbre linéaire (A1S2)

1. Espaces vectoriels de dimension finie
2. Compléments sur les espaces vectoriels
3. Applications linéaires
   1. Cas général
   2. Cas de la dimension finie
   3. Matrices et applications linéaires
   4. Cas des endomorphismes et des matrices carrées

II – Compléments d’analyse (A1S2)

1. Étude asymptotique des suites
2. Comparaison des fonctions d’une variable au voisinage d’un point
3. Séries numériques
4. Intégrales sur un intervalle quelconque
5. Dérivées successives
6. Formule de Taylor
7. Développements limités
8. Extremum
9. Fonctions convexes

III – Probabilités sur un univers quelconque (A1S2)

1. Espace probabilisé
2. Généralités sur les variables aléatoires réelles
3. Variables aléatoires réelles discrètes
4. Lois de variables discrètes usuelles
5. Introduction aux variables aléatoires à densité
6. Lois de variables à densité usuelles
7. Convergences et approximations
   1. Convergence en probabilité
   2. Convergence en loi

Programme d’informatique (A1)

I. L’environnement logiciel

1. Constantes prédéfinies. Création de variables par affectation
2. Constructions de vecteurs et de matrices numériques
3. Opérations élémentaires
4. Fonctions usuelles prédéfinies

II. Graphisme en deux dimensions

III. Programmation d’algorithmes et de fonctions

5.2. Deuxième année

Programme de deuxième année de mathématiques

I – Algèbre linéaire et bilinéaire (A2S3)

1. Compléments d’algèbre linéaire
   1. Changement de base
   2. Trace
2. Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées, réduction
   1. Vecteurs propres et espaces propres
   2. Recherche d’éléments propres
   3. Propriétés générales
   4. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
3. Algèbre bilinéaire
   1. Produit scalaire
   2. Espaces euclidiens

II – Fonctions réelles définies sur Rn (A2S3)

1. Introduction aux fonctions définies sur Rn
2. Calcul différentiel
   1. Dérivées partielles, gradient
   2. Recherche d’extremum : condition d’ordre 1

III – Compléments de probabilités ; couples et n-uplets de variables aléatoires réelles (A2S3)

1. Compléments sur les variables aléatoires réelles
   1. Généralités sur les variables aléatoires réelles
   2. Espérance et conditionnement pour les variables aléatoires discrètes
   3. Complément d’analyse
   4. Compléments sur les variables aléatoires à densité
   5. Compléments sur les lois usuelles
2. Couples de variables aléatoires
   1. Cas général ; indépendance
   2. Couples de variables aléatoires réelles discrètes
   3. Couples de variables aléatoires réelles à densité
3. n-uplets de variables aléatoires réelles, généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance

I – Compléments d’algèbre bilinéaire (A2S4)

1. Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques
2. Projection orthogonale
3. Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

II – Fonctions réelles de n variables définies sur un ouvert de Rn ; recherche d’extrema (A2S4)

1. Extension de la notion de fonction réelle de n variables
2. Fonctions de classe C carré
3. Recherche d’extrema
   1. Définition
   2. Extrema sur un ensemble fermé borné
   3. Condition d’ordre 1
   4. Exemples de recherches d’extrême sous une contrainte quelconque
   5. Condition d’ordre 2
   6. Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires

III – Probabilités : convergences, estimation (A2S4)

1. Convergences et approximations
   1. Convergence en probabilité
   2. Convergence en loi
2. Estimation
   1. Estimation ponctuelle
   2. Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique

Travaux pratiques de mathématiques avec SCILAB

1. Statistiques descriptives univariées
2. Statistiques descriptives bivariées
3. Chaînes de Markov
4. Fonctions de plusieurs variables
5. Simulation de lois
6. Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance